Gruppen und Verknüpfungen

this is part of [[math2]]

Definition Verknüpfungen :

Seien zwei Mengen $X,Y$ nicht leere Mengen, dann ist eine Verknüpfung $\ast$ - auch abstrakte Multiplikation genannt - auf $X$ eine Abbildung $\ast :X\times X⟶Y|(a,b)⟼a\ast b$ Dabei definiert $(a\ast b)$ (verkürzt einfach $ab$) ein Produkt von a und b.

Beschrieben wird die Verknüpfung bei endlichen Mengen (meist) mit Multiplikationstafeln.

Abgeschlossenheit :

Eine Menge $X\ne \varnothing$ heißt abgeschlossen, bezüglich der Verknüpfung, wenn gilt : falls $a\ast b\in X\forall a,b\in X$

Beispiel :

$X=\{a,b\}$, dann definieren wir die Abbildung $\ast :X\times X⟶X|(a,b)⟼a\ast b$ mittels einer gegeben Regel zur Verknüpfung der Elemente der Menge, kann dann die Regel zum rechnen mit dieser gesetzt werden. Beispielsweise : $a\ast a=b,a\ast b=b\dots$

DIe Menge $X$ ist abgeschlossen, da wir die Verknüpfung in dieser Menge vollständig - also mit allen Elemente - anwenden können, ohne dabei den Raum der Elemente zu verlassen - wir resultieren nur mit Elementen, die Teil der Menge sind.

Sei $X=\{0,1\}$ ist abgeschlossen bezüglich der üblichen Multplikation $\ast$ auf $\mathbb{Z}$. Denn $\ast :X\times X⟶\mathbb{Z}$, was aus : $0\ast 0=0\in X;0\ast 1=0\in X;1\ast 1=1\in X$ –> und somit ist jede Operation der Multiplikation abgeschlossen.

Weiterhin ist X jedoch nicht in der Addition abgeschlossen : $+:X\times X⟶\mathbb{Z}$, denn $1+1=2\in \mathbb{Z}\wedge 2\ne X$

Ein Gegenbeispiel : $X=\{1,2\}$ Diese Menge ist nicht in der Multiplikation $2\ast 2=4\ne X$ Weiterhin ist sie auch nicht abgeschlossen in der Addition $2+1=3\ne X$

Gruppen

Definition:

[!Tip] Definition Eine Gruppe ist ein Paar $(r,\ast )$ - wobei r eine Menge und * eine verknüpfung ist – Multiplikationsgruppen beispielsweise $(X,)$, wobei $X=\{0,1\}$ Sie besteht aus einer Menge $G\ne \varnothing$ und einer Verknüpfung. $\ast :G\times G⟶G$ – in sich geschlossen Dabei müssen folgende Regeln gelten ::

Assoziativgesetzt: $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)\forall a,b,c\in G$ neutrales Element : $\exists e\in G:a\ast e=e\ast a=a\forall a\in G$ inverses Element: $\forall a\in G:\exists a^{01}\in G:a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$ –> das inverse Element hilft, aus jedem Element der Menge durch die gegebene Verknüpfung das neutrale Element zu erreichen.

Sofern diese Eigenschaft gilt, sprechen wir von invertierbaren Menge bezüglich der Verknüpfung

Wenn zusätzlich gilt : $a\ast b=b\ast a\forall a,b\in G$ –> also die Verknüpfung kommutativ ist.

Dann sprechen wir von einer abelsche Gruppe bzw einer kommutativen Gruppe.

Ist $G$ eine endliche Menge, so heißt die Anzahl der Element in G die Ordnung von G, auch mit $|G|$ bezeichnet.

Addition from the tutorial ![[103.01_math_tutorial#28.04.2023]]

Halbgruppen :

$(G,\ast )$ heißt Halbgruppe, sofern das Assoziativgesetz[[#Definition:]] gilt. Sie ist nur semi-gut geordnet, wie eine abgeschlossene Gruppe, hat jedoch ihre Anwendung, weil die Assoziativität gilt.

Beispiele :

$(\mathbb{Z},+)$ ist s eine Gruppe ? Assoziativ : ja, da $a+b=b+a=z\in \mathbb{Z}$ neutrales Element : $a+e=a$ mit $e=0$ Inverses Element : $a+a^{-1}=e$ mit $a^{-1}=-a\in \mathbb{Z}$ Weiterhin gilt, dass die Gruppe kommutativ ist : $a+b=c,a,b,c\in \mathbb{Z}\to a+b=c,c-a=b\to -a-a=-c\ast -1=b+a=c$

1. Daraus folgt, dass $(\mathbb{Q},+)\wedge (\mathbb{R},+)$ abelsche Gruppen sind.
2. $(\mathbb{Z},\ast )$ ist keine Gruppe –> warum? Weil, wir kein inverses Element haben können.
   • wir sind assoziativ –> trivial zu zeigen
   • wir haben ein neutrales Element –> 1
   • wir haben kein inverses $\frac{1}{z}$…

Betrachten wir eine weitere Menge : $G:=2\mathbb{Z}:=\{2k|k\in \mathbb{Z}\}$ –> die Menge aller geraden Zahlen Unter Betrachtung der Konkatenationen : $(G,+)\wedge (G,\ast )$ gilt:

1. $(G,+)$ ist als abelsche Gruppe definiert
2. $(G,\ast )$ ist eine Halbgruppe.

Weiteres Beispiel: $H=2\mathbb{Z}+1:=\{2k+1|k\in \mathbb{Z}\}$ –> Menge der ungeraden Zahlen Unter Betrachtung der möglichen Kombinationen :

1. $(H,+)$ keine Gruppe, night abgeschlossen bzgl der Addition (+)
2. $(H,\ast )$ Halbgruppe

Eigenschaften von Gruppen - Satz

[!Tip] Satz Sei $(G,\ast )$ eine Gruppe. Dann gilt:

1. Das neutrale Element von G ist eindeutig, das heißt es existiert nur ein einziges. Sofern mehrere existieren, dann sind sie die selben. A
2. Für jedes $a\in G$ ist das Inverse eindeutig, auch hier sind mehrere Inverse gleich.
3. Für alle $a,b\in G$ gilt $(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$ Das Inverse wird demnach getrennt gebildet und anschließend konkateniert.

Beweis :

1. Angenommen $\exists e_1,e_2\in G\wedge$ beide sind neutrale Element von $G$. Dann gilt: $e_1=e_2\ast e_1$, da mit $a=e_1\to a\ast e_2=e_1$ aber auch $a=e_2\to a\ast e_1=e_2$, da sie neutrale Elemente sind. Daraus folgt: $e_1=e_1\ast e_2=e_2$

2. Angenommen $a\in G$ besitzt zwei Inversen $x\wedge y$ Dann ist $x{=}^{neutralesElement}x\ast e=x(a\ast y)$ | $a\ast y$ resultiert mit dem neutralen Element, wenn a ein Element und y das Inverse ist. $x\ast e=x(a\ast y)=(xa)\ast y$ | $x\ast a$ auch als neutrales Element, da x inverses ist – eindeutig! – und a als Element damit neutralisiert wird. $(xa)\ast y=e\ast y=y$ –> es neutralisiert sich und wir resultieren, dass das Inverse eindeutig bestimmt wird!

3. das Inverse von zwei Verknüpfung wird durch die Inverse der einzelnen Element und deren Konkatenation gebildet –> Das Produkt wird von den Inversen gebildet. Seien $a,b\in G\wedge a\ast b^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$ Setzen wir : $(a\ast b{)}^{-1}\ast (a\ast b)=(b^{-1}\ast a^{-1\ast )}\ast (a\ast b)$ –> muss sich neutralisieren, denn Inverse und Ausgang werden zum neutralen element. $(a\ast b{)}^{-1}\ast (a\ast b)=b^{-1}(a^{-1}\ast a)\ast b^{-1}=b^{-1}b=e$ –> wir können unter der Voraussetzung umformen und dann beweisen, dass der gewollte Endzustand notwendig ist, um es richtig umzuformen.

Gleichungen lösen in Gruppen :

Sei $(G,\ast )$ eine Gruppe $a,b\in G$: –> muss nicht abelsch sein Dann gelten folgende Aussagen ::

1. Es gibt genau ein $x\in G$ mit $ax=b$, denn $x=a^{-1}b\exists x\in G:ax=b$
2. Es gibt genau ein $y\in G$ mit $ya=b$, denn $y=b\ast a^{-1}$
3. Ist $ax=bx$ für ein $x\in G$ dann gilt $a=b$ –> Kürzungsregeln
   1. $ya=yb$ für ein $y\in G$ –> gilt ebenfalls a=b

Beweis :

1. Existenz $x=a^{-1}b$ ist eine Lösung, das heißt Zu Zeigen : $ax=b$ Umformung: $ax=a(a^{-1}b)=(a\ast a^{-1})\ast b=e\ast b=b$ –> wir konnten wieder in das neutrale Element umwandeln und dadurch zeigen, dass die Gleichung gilt .
2. Eindeutigkeit : Es gelte $ax=b$ $⟹x=e\ast x=(a^{-1}\ast a)\ast x=a^{-1}\ast (ax)=a^{-1}b$
   1. Analog für
3. Multipliziere von rechts mit $x^{-1}$: $ax=bx|\ast x^{-1}⟺ax{x}^{-1}=bx{x}^{-1}=a\ast e=b\ast e=a=b$

Vorüberlegungen für Neuanordnungen von Elementen einer Menge:

Sei $X=\{a,b,c\}$. Wir betrachten die Anordnungen der Elemente von X –> alle Permutationen der Menge X. Beispielsweise $\{a,b,c\},\{b,c,a\}\dots$ ==> es existieren 6 Möglichkeiten.

Die Menge von Permutationen ist mit der Fakultät der Menge der Elemente definiert

Dabei stellt sich uns nun die Frage : Wie viele unterschiedliche Permutationen, Anordnungen gibt es
Jede Anordnung lässt sich als eine bijektive [[math1_abbildungen|Abbildung]] darstellen: $\sigma :X⟶X$