date-created: 2024-06-14 04:02:20 date-modified: 2024-10-28 09:40:14

Gaußches Eliminationsverfahren:

specific part of [[math2_Matrizen_LGS]] and [[math2_Matrizen_Grundlage]] broad part of [[103.00_anchor_math]]

Definition

Zum Lösen eines LGS : Gegeben sei ein beliebiges LGS: $A\cdot x=b$

• Wir möchten jetzt folgend die Koeffizientenmatrix$(A,b)$ definieren / bilden -> also einfach den einen Vektor mit in die Matrix als neue Spalte übernehmen
• wir wenden jetzt den Algorithmus [[math2_Matrizen_LGS#Algorithmus zur Transformation auf Zeilenstufenform]] an, und erhalten damit eine neue Matrix $(\bar{A},b^{\prime })$ mit $\bar{A}$ in der Zeilenstufenform vorliegend

[!Warning] Wir können weiterhin auch die Spalten von der Matrix $\bar{A}$ vertauschen, müssen dabei jedoch darauf achten, dass wir die Parameter passend mit vertauschen!

Nach Anwendung des Algorithmus erhalten wir folgende Matrix in der [[math2_Matrizen_LGS#Erweiterte Koeffizientenmatrix|erweiterten Koeffizientenmatrix]]:
$(A^{\prime },b^{\prime })$ sieht folgend aus: $\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & b_1^{\prime }\\ 0& 1& 0& \dots & b_2^{\prime }\\ 0& 0& 1& \dots & b_3^{\prime }\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& 0& 1& b_m^{\prime }\end{array}\right)$ Also die Koeffizienten der Matrix liegen in Zeilenstufenform vor, während der Vektor $b^{\prime }$ unter Umständen weiterhin erhalten ist. Wir können mit dieser Information jetzt betrachten, wie man das LGS Zeile für Zeile lösen könnte. wir können jetzt folgende Informationen über die Ränge folgern: $r=rg(A^{\prime })=rg(A)$ also der Rang bleibt erhalten! Weiterhin folgern wir auch: $r\le m,r\le n$ Also der Rang ist natürlich nicht größer, als die Größe unserer Matrix!

Wir haben nach der Umformung ein neues LGS konstruiert: $A^{\prime }\cdot x=b^{\prime }$ wobei $x^{\prime }$ aus $x$ entsteht, indem wir vorgenommenen Spaltenvertauschungen wieder rückgängig bzw anschließend in die ursprüngliche Reihenfolge setzen.

Ermitteln einer Lösung:

1. Ist der Rang kleiner als die Menge von Reihen: $rg(A)<amount(Reihen)$ und weiter eines der Elemente $b_{r+1}.\dots b_m\ne 0$ dann ist das LGS nicht lösbar, weil wir es nicht auflösen können! LGS nicht lösbar Wir haben dann also gesehen: $(rg(A^{\prime },b^{\prime })>rg(A^{\prime }))$

2. Ist $r=m$, oder auch $r<m\wedge b_{r+1}=\dots =b_m=0$,dann gilt Es gibt mindestens/unendlich eine/viele Lösung/en, also ist dann im Bezug auf den Rank $rg(A^{\prime },b)=rg(A^{\prime })$

3. Betrachten wir weiter noch $rg(A^{\prime })=|n|$. dann gilt: Es gibt genau eine einzige Lösung Das heißt demnach, dass alle $x_1,\dots x_n$ eindeutig bestimmt sind, damit sie die Gleichung lösen können. Ferner heißt das, dass $x_n^{\prime }=b_n^{\prime }$ also der Wert stimmt mit der Reihe des Lösungsvektor überein! Also folgend: $x_n^{\prime }=b_n^{\prime }$ $x_{n-1}^{\prime }=b_{n-1}^{\prime }-a_{n-1,n}\cdot x_n^{\prime }$ -> also die nächste Zeile mit dem eingesetzten Wert der vorher bestimmten Variable! $⋮$ $x_1^{\prime }=b_1^{\prime }-\sum _{k=2}^n{a}_{n,k}^{\prime }\cdot x_k^{\prime }$

   [!Wichtig] Wir müssen hier also immer rückwärts einsetzen, um passend auflösen zu können

4. wir haben viele mögliche Lösungen $r<n$ Dieser Fall tritt ein, wenn der Rang der Matrix kleiner als die Menge von Variablen in unserem Gleichungssystem ist. Es gibt hier viele Lösungen, die wir in einem Raum bestimmen müssen / können Wir können hierbeii beliebige Variablen $x_{r+1}^{\prime }\dots x_n^{\prime }$ frei wählen, und können den Rest $x_{1^{\prime }},\dots x_r^{\prime }$, also die Menge aller Variablen bis zum Rang, rekursiv bestimmen.

Diese Betrachtung können wir jetzt ferner anwenden, um LGS einfacher lösen zu können [[math2_Matrizen_LGS]] oder in erweiterter Form, um den [[math2_Matrizen_GaußJordan]] Algorithmus zum invertieren einer Matrix anwenden zu können.